IGNOU BMTC-134 June 2025 Previous Year Question Paper (हिन्दी)

Q1.कहता कला स्नातक (सामान्य) विज्ञान स्नातक (सामान्य) सत्रांत परीक्षा जून, 2025 बी.एम.टी.सी.-134 : बीजगणित समय :3 घण्टे अधिकतम अंक ; 100 नोट: 6) इस प्रश्न-पत्र में 8 प्रश्न हैं। (४४). प्रश्न संख्या 8 हल करना अनिवार्य है। (४४) प्रश्न संख्या 1 से 7 तक से कोई भी छः: प्रश्त कीजिए। (४०) अपना रफ कार्य पृष्ठ के नीचे या दायीं ओर दिखाइए। (०) कैलकुलेटर प्रयोग करने की अनुमति नहीं है।

Q2.(क) एक चक्रीय समूह को परिभाषित कीजिए। एक una अचक्रीय समूह का उदाहरण दीजिए। (आपको आपका उदाहरण समूह स्थापित करना जरूरी नहीं है। अचक्रीय स्थापित करना पर्याप्त है।) 3

(ख) यह जाँचने के लिए एक मानदण्ड बताइए कि क्‍या समूह ५ का एक अरिक्त उपसमूह प्र, ७ का उपसमूह है। यह जाँचने के लिए मानदण्ड का उपयोग कीजिए योग के सापेक्ष (? पर 2 » 8 आव्यूहों के समूह का उपसमूह है। 2

(ग) क्रमचय (1842) ० (269) 68,0 को दो-पंक्ति रूप में लिखिए। 2

(4) Mors प्रमेय बताइए। एक कोटि 18 वाले समूह के उपसमूहों की कोटियाँ क्या हो सकती हैं ? 2 परिभाषित करते हैं। जाँच कीजिए कि ¢ आच्छादक वलय समाकारिता है या नहीं। यदि हाँ, तो समाकारिता का अष्टि और उस गुणजावली को जनित करने वाला न्यूनतम समुच्चय भी ज्ञात कीजिए। यदि ५ समाकारिता नहीं है, तो श&] से ॥ पर एक आच्छादक समाकारित परिभाषित कीजिए।

Q3.(क) मान लीजिए a-[) i [eGo । गणितीय आगमन विधि का प्रयोग करके दिखाइए कि 42 1, ५ कर आगे यह भी दिखाइए कि शक] 0. कण डाक ait neN के लिए। यह भी दिखाइए कि, यदि ०(५) परिमित है, तो ०(५) सम होगा। 6

(ख) दिखाइए कि &+2 और &+4 ((&] में असहभाज्य

(ग) 2[&] में बहुपद के लिए ]४०१ # अखण्डनीयता परीक्षण बताइए। इस परीक्षण का प्रयोग करके दिखाइए कि ४ +18:+27 (0!७] में अखण्डनीय है।

Q4.(क) एक अरिक्त समुच्चय 8 पर स्वतुल्य, सममित और संक्रामक सम्बन्धों को परिभाषित कीजिए। द्वारा परिभाषित सम्बन्ध लीजिए। जाँच कीजिए कि > स्वतुल्य, सममित और संक्रामक है। क्या यह एक तुल्यता सम्बन्ध है ? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए । 5

(ख) 6) मान लीजिए ७ एक समूह है और प्र उसका उपसमूह है। 6 में एक अवयव 6८५ के संगत स्का विषम सहसमुच्चय परिभाषित कीजिए। प्र (४) मान लीजिए 0658, और प् 5६1, (123 4), (1 8) (2 4), (1 4 3 2))। विषम उपसमुच्चय ०प्र परिकलित कीजिए, जहाँ ०-(1 2) । प्र

(4) Z/70Z at ait उचित गुणजावलियाँ निकालिए। आगे इनमें से कौन-सी उच्चिष्ठ गुणजावलियाँ हैं और

(घ) पुष्टि के साथ 8; के एक उपसमूह का उदाहरण दीजिए जो 8; में प्रसामान्य न हो।

Q5.(क) 6) एक सरल चित्र द्वारा अंग्रेजी वर्णमाला के वर्ण 1०? की एक घूर्णन सममिति बताइए घूर्णन का कोण और बिन्दु, जिसके प्रति घूर्णित किया गया है, यह भी बताइए। प्र

(1) एक सरल चित्र द्वारा अंग्रेजी वर्णमाला के वर्ण शु" की एक परावर्तन सममिति दिखाइए। सममित-रेखा भी बताइए। प्र

(ख) # ८, # 22 के लिए समूह 8, में कितने अवयव हैं ? 8, के सभी अवयवों की सूची बनाइए। 4 ४-॥० «5० | आव्यूह जोड़ और गुणा के सापेक्ष एक क्रमविनिमेय वलय है या नहीं। यदि 8 एक वलय है, तो ताक निकालिए। यदि ९ वलय नहीं है, तो [४ को आविष्ट करने वाली किसी भी वलय का अभिलक्षाणिक निकालिए।

Q6.(क) दिखाइए कि #8, में आविष्ट 3-चक्र, »>3 के लिए, A, Wi Sift करते हैं। 6

(ख) 2[+/5] का भागफल क्षेत्र निकालिए। 3

(ग) मान लीजिए 8-३1, 2, 3, 41 और *, 6*9-8 द्वारा परिभाषित 8 पर एक द्विआधारी संक्रिया है। (8, *)के लिए एक कैली तालिका परिकलित कीजिए। क्‍या * क्रमविनिमेय है ? कया * साहचर्य है ? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।

Q7.(क) एक क्षेत्र पर बहुपदों के लिए अद्वितीय गुणनखंडन प्रमेय बताइए। आगे दिखाइए कि (8४+1) (2४+5) दो गुणनखंडन हैं। क्‍या यह उपर्युक्त प्रमेय का अंतर्विरोध करता है, समझाइए। अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए। 4

(ख) ०, 8 ८ 7. के लिए दर्शाइए कि : और ७8 का 1.0.07. है। ७ और ४ का 8.०.१. है। आगे 372/47 और 67+159 निकालिए। 7

(ग) दिखाइए कि 6/स्र॒ एक अनंत समूह है, जहाँ G=GL,(R) और प्त-8,, 02) |

Q8.(क) 0) पुष्टि के साथ एक वलय 7 और एक अवयव ०८1३६ का उदाहरण दीजिए जिसके लिए ७ न तो शून्य विभाजक है न मात्रक है। 2 (४) पुष्टि के साथ एक वलय 18 और एक अवयव ०८३६ का उदाहरण दीजिए जिसके लिए 6 शून्य भाजक और 6 शून्य भावी नहीं है। 2

(ख) यदि 1 एक वलय 1३ की गुणजावली है, तो दिखाइए एश- कर la; el, nenvi}] R[x] की गुणजावली है। आगे, क्या Fa R[x] PID है तो 1[£] मुख्य गुणजावली होगी ? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए । 4

(ग) दिखाइए कि : GL,(R) का उपसमूह है। आगे जाँच कीजिए कि w:Z>G, जो ७७०-0 | द्वारा परिभाषित है, जहाँ 2 जोड़ के सापेक्ष समूह है, एक समूह तुल्यकारिता है या नहीं। 5

(घ) दिखाइए कि प्रत्येक %८7'ण के लिए और प्रत्येक बढ, ८|४,,, में कोटि 4 का एक उपसमूह है।

Q9.निम्नलिखित कथनों में से कौन-से कथन सत्य और कौन-से कथन असत्य हैं ? अपने उत्तर को एक लघु उपपत्ति या प्रति-उदाहरण, जो भी उपयुक्त हो, के रूप में दीजिए। 10 उचित पुष्टिकरण के साथ ही अंक दिये जाएँगे :

(6) प्रत्येक अनाबेली समूह का कम-से-कम एक उचित उपसमूह है जो प्रसामान्य नहीं है। (४) यदि एक समूह में कोटि तीन और दो वाले अवयव हैं, तो कोटि छ: वाला अवयव भी है।

(7) अक्रमविनिमिय.. वबलय की प्रत्येक उपवलय अक्रमविनिमेय है। (५) यदि वलय वलय 8 की उपवलय है और 8 में शून्य का भाजक है, तो [8 में भी शून्य का भाजक है। (४) यदि एक समूह के प्रत्येक अवयव की कोटि अनन्त है, तो उस समूह में परिमित सूचकांक वाला कोई भी उचित उपसमूह नहीं है।