IGNOU BMTC-134 December 2023 Previous Year Question Paper (हिन्दी)

Q1.कैलकुलेटरों के प्रयोग की अनुमति नहीं है। (०) रफ कार्य उसी पेज के नीचे स्पष्ट रूप से दर्शित भाग में या पेज के बगल में करें।

Q2.(क)मान लीजिए >& पर सम्बन्ध ॥ धार यदि 9 विषम है, द्वारा परिभाषित है। 1२ तुल्यता सम्बन्ध के लिए जरूरत कौन-से गुणों को सन्तुष्ट करता है और कौन-से गुणों को सन्तुष्ट नहीं करता ? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए। 3

(ख)एक समूह का उपसमूह परिभाषित कौजिए। जाँच कौजिए कि ; योग के सापेक्ष ७. पर 2 » 8 आव्यूहों क समूह का उपसमूह है। 2

(ग) लैग्रांज प्रमेय बताइए। एक कोटि 15 वाल समूह की उपसमूहों की कोटि क्या हो सकती है ? 2

(घ) एक तत्समकी वलय में मात्रक परिभाषित कीजिए। एक तत्समकी वलय ॥ और ४ में एक मात्रक का उदाहरण दीजिए। 2 (डः) मान लीजिए 8 5 (-2, -1, 1, 2) और द्विआधारी संक्रिया *, ० * ७ 5-७ द्वारा परिभाषित है। (8, *) को कैली सारणी बनाइए। क्‍या * क्रमविनिमेय है ? क्या * साहचर्य है ? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।

Q3.(क)मान लीजिए & एक 4 » 3 वास्तविक आव्यूह है, छ एक 3 » 5 वास्तविक आव्यूह है और 2 एक 4 » 5 वास्तविक आबव्यूह है। निम्नलिखित में से कौन-सी संक्रियाएँ साध्य हैं ? जो संक्रियाएँ परिभाषित हैं उनमें प्राप्त आव्यूह की

(ख)मान लीजिए «a = (1 45), PB =(1 24 3) © Ss. ०5 ०.१7 ! परिकलित कीजिए। ० को पफक्षान्तरण के गुणनफल के रूप में लिखिए। 5 की चिन्हक क्‍या है? 3 Cae F w a & ad दिखाइए कि

Q4.पुष्टि के साथ 8 में एक शून्यभावी अवयव दीजिए।

(9) पुष्टि के साथ ३ में एक शून्य का भागक दीजिए जो शून्यभावी न हो।

Q5.(क)दिखाइए कि, यदि 5 एक परिमित समूह है जिसके लिए ०

(5) न तो एक न ही अभाज्य है, तब 6 का एक उचित उपसमूह होगी। 5

(ख) अभाज्य गुणजावली को परिभाषित कीजिए। 2 में एक अभाज्य गुणजावली दीजिए। 2

(ग) निम्नलिखित को परिकलित कीजिए : 3

(घ) मान लीजिए 6 एक अभाज्य कोटि वाला समूह है। दिखाइए कि Gc का कोई उचित उतुच्छ उपसमूह नहीं है। आगे, दिखाइए कि 6 चक्रीय है। यह भी जाँच कीजिए कि कोटि 15 वाल एक समूह का प्रत्येक उपसमूह चक्रीय है। 5

(ख)यदि प्त और ॥ एक समूह के प्रसामान्य आबेली उपसमूह हैं और प्र०1र-(६०), तो दिखाइए कि प्ाह आबेली है। क्या यह निष्कर्ष प्रतिबन्ध, HoOK={e} हटाने पर भी सत्य

(ग) निम्नलिखित प्रत्येक स्थिति में जाँच कीजिए कि 5 वलय 1२ की उपवलय है या नहीं :

Q6.(क)मान लीजिए. वलय 1६-(७०0, «, ०), 8-(४(५), ७, 0), जहाँ ह अरिक्त समुच्चय है और ए, # का अरिक्त उपसमुच्चय है। मान लीजिए o:RoS सभी & ८ ४ के लिए ९(७) 5» ₹ द्वारा परिभाषित है। दिखाइए कि 0 एक वलय समाकारिता है। $ की अष्टि क्‍या है 26

(ख)मान लीजिए 7 एक क्षेत्र है और /७0 बगल] ४(0 में अखंडनीय है। दिखाइए कि (/00),1

(0) में एक उच्चिष्ठ गुणजावली है। इसका प्रयोग करके दिखाइए कि (0(%]/ (४४ +6%# +18) एक क्षेत्र हैः

(ग) एक प्रसामान्य उपसमूह को परिभाषित कौजिए। S, एक प्रसामान्य उपसमूह दीजिए।

Q7.(क)ए४9) में प्रत्येक अवबयव की कोटि निकालिए। क्‍या ए

(9) चक्रीय है ? अपने उत्तर की पुष्टि कौजिए। 5

(ख)जाँच कीजिए कि

(7)25 की उच्चिष्ठ गुणजावली है या नहीं। 3

(ग) दिखाइए कि 6|०(७,) परन्तु &, की कोटि 6 वाला कोई भी उपसमूह नहीं है।

Q8.(क)मान लीजिए. 8-(2८९०* 2|-1) aR ए-(४८८०१* | ४” -1 neN}, जाँच कीजिए कि ए एक समूह tA US का उचित उपसमूह है ? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए। 3

(ख)मान लीजिए 9 एक वलय है। (क्रमविनिमेय होना जरूरी नहीं है।) मान लीजिए 1 और ०7, 8 की गुणजावलियाँ हैं। दिखाइए कि 167 और 1+7<(०+७|०८1, ४७ ८7) 1 की गुणजावलियाँ

(ग) दिखाइए कि (&, 7) »&] में मुख्य गुणजावली नहीं है।

Q9.निम्नलिखित कथनों में से कौन-से कथन सत्य और कौन-से कथन असत्य हैं ? अपने उत्तर की पुष्टि एक लघु उपपत्ति या प्रति-उदाहरण द्वारा कीजिए : 10

(क) प्रत्येक विषम क्रमचय का चिहनक -1 होता है।

(ख) कोटि 8 वाला प्रत्येक समूह आबेली है।

(ग) वलय 2.[:0 में अन्ततः अनेक अवयव हैं।

(घ) एक अक्रमविनिमेय वलय में दो मात्रक का गुणनफल मात्रक होता है। (झ) 29 » 25 6 अवयवों वाला क्षेत्र है।