IGNOU BMTC-134 June 2022 Previous Year Question Paper (हिन्दी)

Q1.निम्नलिखित में से कौन-से कथन सत्य हैं अथवा कौन-से असत्य? अपने उत्तर का कारण दीजिए । 10x2=20

(क) 1 का एक परिमित कोटि वाला अतुच्छ उपसमूह है ।

(ख) 2 के प्रत्येक अरिक्त उपसमुच्चय में न्यूनतम अवयव

(ग) समूहों के रूप में, 2.0 ~ ZmXZq, FE my ne N.

(a) यदि ७ एक चक्रीय समूह है, तो यह अपने प्रत्येक उचित अतुच्छ उपसमूहों के तुल्याकारी है । (ड) वलय (8, +, » की प्रत्येक गुणजावली (8, +) का प्रसामान्य उपसमूह है ।

(a) यदि 8 एक क्रमविनिमेय वलय & का एक उपवलय है, तो 8, 8 की एक गुणजावली होगी ही ।

(छ) यदि 18 एक क्षेत्र है और ७, छ की एक उच्चिष्ठ गुणजावली है, तो (1/५७) ~ R. (ज) यदि 1 एक पूर्णांकीय प्रांत है, तो ॥५

(8) भी एक पूर्णाकीय प्रांत है । (झ) ॥ से ॥ तक समाकलनीय फलनों का समुच्चय, बिंदुश: योगफल और फलनों के संयोजन के सापेक्ष, एक क्रमविनिमेय वलय है । (ज) यदि (8, +, ) एक वलय है, तो (8, +) और (8, » सामिसमूह हैं ।

Q2.(क) फलनों (प्रतिचित्रण) के संयोजन के सापेक्ष, समुच्चय F = {f,, fo, f3) के लिए केली सारणी बनाइए, जहाँ #' के अवयव 10" (0, 1) से | पर निम्न प्रकार परिभाषित फलन हैं : वन, ७0055, इस प्रकार, जाँच कीजिए कि (70, ) समूह है या नहीं ।_ 8

(ख) ४6« (के लिए, क्‍या 9,,, £ का उपवलय है ? अपने उत्तर के कारण दीजिए ।

Q3.(क) मान लीजिए 1 एक क्रमविनिमेय वलय की एक गुणजावली है । सिद्ध कीजिए कि छ की एक गुणजावली है । आगे, यह भी दिखाइए कि यदि & एक तत्समकी परिभाषित कीजिए । जाँच कीजिए कि ~ एक तुल्यता का तुल्यता वर्ग ज्ञात कीजिए । यदि " तुल्यता संबंध नहीं है, तो ४२2

(8) पर एक अन्य संबंध परिभाषित कीजिए जो एक तुल्यता संबंध हो ।

Q4.(क) मान लीजिए ७ एक समूह है और प्र, ८का एक प्रसामान्य उपसमूह है । दिखाइए कि यदि 6/प्त चक्रीय है, तो 6 का आबेली होना आवश्यक नहीं है । 3 जहाँ 723 है । दिखाइए कि ७ एक समूह समाकारिता है । साथ ही, ker $ का एक अतुच्छ अवयव ज्ञात कीजिए । 4

(1) जाँच कीजिए कि 12 - 3x? — 9x4 + 25४, 0] में अखंडनीय है या नहीं ।

Q5.(क) मान लीजिए ७ एक समूह है और 860. समाकारिता के मूलभूत प्रमेय का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि 2/< 12 >, < 8 > के तुल्याकारी है, यदि और केवल यदि 8 की कोटि 12 है । 7

(ख) क्‍या किसी परिमित तत्समकी क्रमविनिमेय वबलय की प्रत्येक अभाज्य गुणजावली एक उच्चिष्ठ गुणजावली होती है ? अपने उत्तर के कारण दीजिए ।

Q6.(क) मान लीजिए 9 एक पूर्णाकीय प्रांत है, और मान लीजिए ए और 1, दोनों 7) के विभाग क्षेत्र हैं | तब सिद्ध कीजिए कि 7 -1.. 3

(ख) वलय R=Qk और इसकी गुणजावली 1 से अलग एक वर्गसम अवयव ज्ञात कीजिए | 3

(1) मान लीजिए ८ एक समूह है और $ ८ ४०६ 0. मान जाँच कीजिए कि प्त, 6 का उपसमूह है या नहीं । यदि है, तो क्या प्र, 6 में प्रसामान्य होगा ही ? यदि प्र, 6 का उपसमूह नहीं है, तो &ए४६ & का एक उचित प्रसामान्य उपसमूह दीजिए । 4 प्र...

(क) 28 से 212 तक सभी संभव समूह समाकारिताएँ ज्ञात कीजिए । 6

(ख) 2,/302 की सभी उचित गुणजाबलियाँ ज्ञात कीजिए । आगे, इनमें से कौन-सी उच्चिष्ठ गुणजावलियाँ हैं और

Q7.(क) मान लीजिए 7 एक क्षेत्र है, एॉ - 7"

(0) और एक" « ए [1). 8४७७-८४ + ४ - ०७ द्वारा ए' पर संक्रिया & परिभाषित कीजिए । दिखाइए कि (०, ७) एक समूह है, और यह समूह (ए“, -) के तुल्याकारी है। 7

(ख) पुष्टि सहित, एक ऐसे वलय का उदाहरण दीजिए जो एक पूर्णाकीय प्रांत न हो और जिसकी प्रत्येक गुणजावली मुख्य गुणजावली हो ।

Q8.(क) मान लीजिए 8 - 21] और 1 = nR2, Wel ne Z* दिखाइए कि ४+ 19 ८ 1 यदि और केवल afe nla और ४ |७. आगे, दिखाइए कि 1/ एक परिमित वलय है। 6

(ख) 20019) ज्ञात कीजिए । साथ ही, 112 में 20019) के दो भिन्न-भिन्न दक्षिण सहसमुच्चय ज्ञात कीजिए ।

Q9.(क) मान लीजिए 6 एक ऐसा अपरिमित समूह है कि 6 के किसी भी अतुच्छ उपसमूह 'ए के लिए |७: | < ०० सिद्ध कीजिए कि यदि प्त 5 6, तो प्त - (७ या प्र अपरिमित है । आगे, सिद्ध कीजिए कि यदि 5, ७ का एक अतुच्छ अवयव है, तो 000 अपरिमित है । 5

(ख) यूक्लिडीय ऐल्गोरिद्म का प्रयोग करके 01 में £ + ४ + 1 और 5४2 + 1 का ४8.०.१. ज्ञात कीजिए । 3

(1) 57 के एक कोटि 12 वाले अवयव का, पुष्टि सहित, उदाहरण दीजिए ।