BMTE-141 · June 2025 · हिन्दी
IGNOU BMTE-141 June 2025 Previous Year Question Paper (हिन्दी)
LINEAR ALGEBRA
Structured previous year question paper for BMTE-141, June 2025 session (Hindi medium).
Max marks: 100 · Questions: 7
Verified: 22 Aug 2026
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स्नातक उपाधि कार्यक्रम (बी. डी. पी.)
(बी, एस-सी. जी./बी. ए. जी./बी. एस-सी. एम./
सत्रांत परीक्षा
जून, 2025
बी.एम.टी.ई.-141 : रैखिक बीजगणित
समय :3 घण्टे अधिकतम अंक ; 100
we:
(i) इस प्रश्न पत्र में आठ प्रश्न हैं।
(ii) आठवाँ प्रश्त करना अनिवार्य है।
(४४1) प्रश्न संख्या 1 से 7 तक कोई भी छ; प्रश्न कीजिए।
(४०) कैलकुलेटर के प्रयोग की अनुमति नहीं है।
Q1.(क) एक आव्यूह के सहखण्डज को परिभाषित कीजिए। आव्यूह : 2 का सहखण्डज लिखिए। (sta aie fe सदिशों का समुच्चय किक हु प्रसामान्य लाम्बिक
(ग) मान लीजिए ७ 5 ((७, 9, 0) | ०, & ८९१) और &+3-1र | क्या है ४ और 8 का अनुलोम योगफल है ? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए। 4 पंक्ति समानीत सोपानक रूप में है ? क्या यह पंक्ति समानीत रूप में है ? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए। यदि यह आव्यूह पंक्ति सोपानिक समानीत रूप में नहीं है, तो पंक्ति संक्रियाओं को प्रयोग करके आव्यूह को पंक्ति समानीत सोपानिक रूप में समानीत कीजिए। 3 (ड) क्रमित आधार (1 + &, », 1+ ४ + «1; के सापेक्ष बहुपद 2£ -%+1 के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
Q2.(क) पंक्ति समानयन द्वारा आव्यूह : 5 की कोटि और शून्यता निकालिए।
(ख) जाँच कीजिए कि निम्नलिखित समीकरण निकाय को क्रेमर नियम से हल किया जा सकता है : 5 यदि हाँ, तो समीकरण निकाय को क्रेमर नियम से हल कीजिए। यदि नहीं, तो गाउसीय निराकरण से हल कीजिए।
(ग) मान लीजिए ए और एए, ए की उपसमष्टियाँ हैं और विमा
(0) 5 7, विमा (ए) 5 5, विमा (५) 5 91 विमा (01 ए/) के संभावित मान निकालिए। 3
(घ) आन्तर गुणन समष्टियों के लिए कौशी-श्वार्ज असमिका बताइए। सदिशों ७ 5 (-1, 28, )) और सत्यापित कीजिए । 2 कोटि और चिह्क निकालिए। क्या ये समघात तुल्य हैं ? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए। 3
(ख) जाँच कीजिए कि आव्यूह : विकर्णनीय है या नहीं। यदि विकर्णनीय है, तो आव्यूह 9 और और विकर्ण आव्यूह 1) निकालिए जिसके लिए 9877 - 1) । यदि यह विकर्णनीय नहीं है, तो उसके सहयुग्मी ज्ञात कीजिए । 8
(ग) ४८ (४,०७५०४)) »>(00,99)29) ८ के लिए +%5)5 ठ्वारा परिभाषित कीजिए। जाँच कीजिए कि ,R? पर आन्तर गुणन फलन परिभाषित करता है या नहीं।
Q3...
(क) पंक्ति समानयन का प्रयोग करके निम्नलिखित आव्यूह का व्युत्क्रम निकालिए : 6 का लाम्बिक विहित समानयन निकालिए। इसके मुख्य अक्ष भी निकालिए।
Q4.(क) सिद्ध कीजिए कि समुच्चय ;: एए की विमा भी ज्ञात कीजिए । 5
(ख) 6) जाँच wife fe T:R?oR, tt परिभाषित किया गया है, एक रैखिक संकारक
(1) दिखाइए कि रेखा » ८ mx, m40 TR VAI रैखिक फलन : का की काका द्वारा दिया गया है। 5
(ग) मान लीजिए dare T:Rt OR! : द्वारा परिभाषित किया गया है। जाँच कीजिए कि पु - [ । आगे " का अल्पिष्ठ बहुपद निकालिए।
Q5.(क) रैखिक संकारक ": (४ - (४ लीजिए जो : द्वारा परिभाषित है। ग' का आव्यूह रूप का न प्रयोग करते हुए ए* (७1,५५,०४,००५) निकालिए, जहाँ ८ ६९४४८ 1, 2, 3, 4। जाँच कीजिए कि " की (४ पर मानक आंतर गुणनफलन के सापेक्ष प' स्वसंलग्न है। प' का आव्यूह रूप का न प्रयोग करते हुए यह भी जाँच कीजिए कि " एकिक है। 6
(ख) मान लीजिए 7, 1 पर अधिक से अधिक कोटि चार वाले बहुपदों की सदिश समष्टि है। दिखाइए कि 1+%+ 2» और 1+ » रैखिकत: स्वतंत्र हैं। 7, के लिए बहुपदों 1+%+»%2 और 1 + » आविष्ट करने वाला एक आधार निकालिए। 4
(ग) M,
(C) a पर सदिश समष्टि के तौर पर लीजिए। मान लीजिए कि ५, # » # हर्मिटी आव्यूहों की सदिश समष्टि है और ५, n x n विषम-हर्मिटी आव्यूहों को सदिश समष्टि है। दिखाइए कि अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
Q6.(क) निम्नलिखित समीकरण धात्विक टिन की सांद्रित नाइट्रिक अम्ल के साथ प्रतिक्रिया को निरूपित करता उचित रैखिक समीकरणों का निर्माण करके इस समीकरण को संतुलित कीजिए। (99 - टिन का रासायनिक प्रतीक) । 8
(ख) मान लीजिए ": है? -> 7 ; प' (६ 3) 5 (६, », ४ + 3) द्वारा परिभाषित है और 8:४२ ->82 : 8 (५ », 2) 5 (४+ 2, » - ») द्वारा परिभाषित है। मान लीजिए 8| और 8५ क्रमशः १ और 1र* के मानक आधार हैं। जाँच कीजिए कि ;
Q7.निम्नलिखित कथनों में से कौन-से कथन सत्य और कौन-से कथन असत्य हैं ? अपने उत्तर की लघु उपपत्ति या प्रति-उदाहरण द्वारा पुष्टि कीजिए : 10
(क) यदि एक आव्यूह विकर्णनीय है, तो आव्यूह के अभिलाक्षिणक बहुपद के मूल भिनन हैं।
(ख) यदि 8 और " # »६ # व्युत्क्रमणीय वर्गीय आव्यूह हैं, तो 8+ " भी एक व्युत्क्रमणीय वर्गीय आव्यूह है।
(ग) यदि & एक वर्गीय आव्यूह है जिसके लिए A? =A, तो शून्य » का आइगेने मान है।
(घ) एक आंतर गुणन समष्टि में ऐसे सदिश & और ० हैं |४-०|८७। (ड) यदि (०,०५,०3) एक रैखिकत:ः स्वतंत्र समुच्चय है और ०1,०2० और ०३४ शून्येतर अदिश हैं, तो (०ण,०५०५,०३०३) भी रैखिकत: स्वतंत्र समुच्चय