BMTE-141 · December 2024 · हिन्दी
IGNOU BMTE-141 December 2024 Previous Year Question Paper (हिन्दी)
LINEAR ALGEBRA
Structured previous year question paper for BMTE-141, December 2024 session (Hindi medium).
Max marks: 100 · Questions: 10
Verified: 22 Aug 2026
0 ८
च2 2 2
विज्ञान स्नातक ( सामान्य )
सत्रांत परीक्षा
दिसम्बर, 2024
बी.एम.टी.ई.-141 : रैखिक बीजगणित
समय : 3 घण्टे अधिकवम अक : 100
We:
(i) इस ग्रश्न पत्र में आठ सवाल हैं।
(४) आठवाँ सवाल करना अनिवार्य है।
(४0) अ्रश्न सख्या / से 2 तक कोर्ह थी छ; प्रश्न
कीजिए।
(iv) Brea के प्रयोग की अनुमति नहीं है।
Q1.(क)मान लीजिए 4 1 i} ०-0 j और c-| | ol! निम्नलिखित में से कौन-सी संक्रियाएँ साध्य हें ? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए। जो संक्रियाएँ साध्य हैं वह कीजिए। 3
(ख)पंक्ति समानयन द्वारा आव्यूह |2 1 5| की जाति और शून्यता ज्ञात कीजिए। 3
(ग) सदिश (0,1,1) और (-1,1,1) द्वारा निर्धारित सदिश समष्टि के संगत समतल का समीकरण निर्धारित कीजिए। 3
(घ) आव्यूह १३ 4 का अभिलाक्षणिक बहुपद ज्ञात कीजिए। आव्यूह # के लिए कैली-हैमिल्टन प्रमेय सत्यापित कीजिए। 2 (ड) एक आंतरगुणन सदिश समष्टि में एक सदिश का मानक परिभाषित कीजिए॥ सदिश (1-1,1,1+1) ८ ०३3 का मानक ज्ञात कीजिए। 2
(च) सदिश (4,1, -1), (4, 0,1) और (2,1,1) द्वारा विस्तृत aa का आयतन ज्ञात कीजिए।
Q2.(क)यदि मानक आधार के सापेक्ष एक रैखिक संकारक पे : ए2 -> 2 का मानक आधार के सापेक्ष आव्यूह [3 3| तो रैखिक संकारक ज्ञात कीजिए। 3
(ख)समघात #+/2 4 और 0 -४-/४-<«4 के जाति और चिह्क निकालिए। क्या ये समघात तुल्य हैं ? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए। 3
(ग) मान लीजिए ७ - {[° (कल्च्छ और Vy = {| | ber ड़ x MR) की उपसमष्टियाँ . हैं। निरूपित कीजिए कि अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए। 3 दिखाइए कि (४, ४०) 1२2 का प्रसामान्य लांबिक आधार है। सदिश (1, 0) को ०७ और uy एक घात संचयन के रूप में लिखिए। 2 (ड) मान लीजिए aA एक 4»4 आव्यूह है। वह प्रारम्भिक आव्यूह लिखिए जिसको » की बाई तरफ से गुणन करने पर » पर निम्नलिखित संक्रियाएँ होंगी :
Q3.२५ €> २५
(च) दिखाइए कि आव्यूह ; 0 i » के सभी वास्तविक मान के लिए व्युत्क्रमणीय है।
Q4.(H)b,b, और ४; पर प्रतिबंध निकालिए जिससे निम्नलिखित समीकरण निकाय संगत है : 7
(ख)आव्यूह A= : 1 j के सहखण्डज निकालिए। आगे सहखण्डज का प्रयोग करके & का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए। 5 पंक्ति समानीत सोपानक रूप में है ? क्या यह पंक्ति समानीत रूप में है ? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए। यदि यह आव्यूह पंक्ति समानीत सोपानक रूप में नहीं है, तो पंक्ति संक्रियाओं के प्रयोग से आव्यूह को पंक्ति समानीत सोपानक रूप में समानीत कीजिए।
Q5.(क)जाँच कीजिए कि आव्यूह aA 110 विकर्णनीय है। यदि विकर्णनीय है, तो एक विकर्ण आव्यूह 0 और व्युत्क्रमणीय आव्यूह 7 निकालिए जिससे 77107 - 0। 8
(ख) कैली-हैमिल्टन विधि से आव्यूह : का व्युत्क्रम निकालिए। 5
(ग) ०,७,० ६ ०८ के मान निकालिए जिससे आव्यूह
Q6.1 2-1 | हर्मिटीय है।
Q7.(क)मान लीजिए : ए3 की उपसमष्टियाँ हैं। ५, + ७, का एक आधार प्राप्त कीजिए और ७५ ०७७७, का एक विस्तृतिक समुच्चय निकालिए। 7
(ख) मान लीजिए कि T:R2 >R3 व (६ ))) 5 (५ - », », )) द्वारा परिभाषित है और द्वारा परिभाषित है। मान लीजिए 8 और 8; 72 और 1४ के क्रमश: मानक आधार हैं। जाँच कीजिए कि :
Q8.(क)द्विघात समघात : का लांबिक विहित समानयन ज्ञात कीजिए। इसका मुख्य अक्ष भी ज्ञात कीजिए। 9
(ख)मान लीजिए ए, और एल, सदिश सर्मष्टि ए की उपसमष्टियाँ हैं। निरूपित कीजिए कि यदि
(ग) एक सदिश समष्टि का सहसमुच्चय परिभाषित कीजिए। मान लीजिए : जाँच कीजिए कि सदिश (3, 1, 2) और (1, 1, 3) ' के एक ही सहसमुच्चय में हैं या नहीं।
Q9.(क)मान लीजिए 8 5 (७, ५०, ५३) 9? का एक क्रमित आधार है, जहाँ ४ 5 (0,1,-1), ४० 5 (0, 0, -1) और ॥३ 5 (0,1,1)। ग्राम-श्मिट लांबिकीकरण विधि का प्रयोग करके ४३ का प्रसामान्य लांबिक आधार प्राप्त कीजिए। 5
(ख)मान लीजिए 8 - 1061, -1, 3), (0, 1, -1), (0, 3, -2)) ए! का आधार है। 8 का द्वैत आधार निकालिए। 5 1" की उपसरमष्टि है या नहीं। 3
(घ) यदि ५,५७७ और ७३ ० सदिश समष्टि ए में Yard: स्वतन्त्र हैं, तो दिखाइये कि श,ण + ४2, ४ + ४३ भी रैखिकतः स्वतन्त्र हैं।
Q10.निम्नलिखित कथनों में से कौन-से कथन सत्य और कौन-से कथन असत्य हैं ? अपने उत्तर की पुष्टि एक लघु उपपत्ति या प्रत्युदाहरण द्वारा दीजिए, जो भी उचित है: 5x2=10
(क) समरूप आव्यूहों के अभिलाक्षणिक बहुपद समान
(ग) यदि & एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है, तो 0, & का आइगेन मान नहीं है।
(घ) एक आंतर गुणन समष्टि में सदिश ५ और ५ होते हैं जिसके लिए. ॥५४॥52,॥|५॥7, (S) af w, ax w, सदिश समष्टि ए की उपसमष्टियाँ हैं, और W,+W,=V तो