IGNOU BMTE-141 December 2025 Previous Year Question Paper (हिन्दी)

Q1.(क) मान लीजिए & एक #»४, 3 एक #># और 0 एक #४०<# आव्यूह है। निम्नलिखित में से कौन-सी संक्रियाएँ साध्य हैं ? जो संक्रियाएँ साध्य हैं उससे प्राप्त आव्यूह की कोटि

(ख) पंक्ति समानयन द्वारा आव्यूह |-1 -2 1|[ की जाति एवं शून्यता प्राप्त कीजिए । 3

(ग) सदिशों (1,1,1) और (-1,1,1) द्वारा विस्तृत सदिश समष्टि के संगत समतल का समीकरण निर्धारित कीजिए। 3

(घ) जाँच कीजिए कि सदिश v 1) ae संगत आइगेन मान भी निकालिए। 2 (ड) आंतर गुणन समष्टि में एक सदिश का मानक परिभाषित कीजिए। सदिश 6,1-79,1+7) ८ (४ का मानक निकालिए। 2

(च) सदिश (1, 1, 1), (1, 1, 0) और (0, 1, 1) द्वारा विस्तृत बॉक्स का आयतन का परिमाण क्या है ?

Q2.(क) यदि मानक आधार के सापेक्ष रैखिक रूपांतरण T:R? 2 1 1 हैतो :1११ -> 12? का आव्यूह 11 है, तो रैख्िक रूपांतरण निकालिए। 3

(ख) समघात x? x3 +02 —x3 और व +अर्+-४ के जाति और चिह्क निकालिए। क्या ये समघात तुल्य हैं ? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए । 3

(ग) मान लीजिए Vv, -{ 2 [लव] और Vy रन बे <R| MR) की उपसमष्टियाँ . हैं। सिद्ध कीजिए कि ? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए। 3 घ) मान लीजिए कि = =H) और Us -($-3) । दिखाइए कि (०७,०५७) हि का प्रसामान्य लांबिक आधार है। सदिश (3, 2) को ॥॥ एवं ४५ के एकघात संचयन के रूप में लिखिए। 2 (S) मान लीजिए कि & एक 4 » 4 आव्यूह है। उस प्रारम्भिक आव्यूह को लिखिए जिसको # के बायें तरफ से गुणा करने पर आव्यूह पर निम्नलिखित पंक्ति संक्रियाएँ होंगी : 2

(च) ७ के उन मानों को ज्ञात कीजिए जिनके लिए आव्यूह 1 0 ०७ | व्युत्क्रमणीय नहीं है।

Q3.(%) bb, TH ४४ पर प्रतिबंध निकालिए जिससे निम्नलिखित समीकरण निकाय संगत है : 7

(ख) आव्यूह &-|2 0 1| का सहखण्डज ज्ञात कीजिए। आगे सहखण्डज का प्रयोग करके & का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए । 5 पंक्ति समानीत सोपानक रूप में है ? क्‍या यह पंक्ति समानीत रूप में है ? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए। यदि यह आव्यूह पंक्ति समानीत सोपानक रूप में नहीं है, तो पंक्ति संक्रियाओं के प्रयोग से आव्यूह को पंक्ति समानीत सोपानक रूप में समानीत कौजिए।

Q4...

(क) जाँच कीजिए कि आव्यूह विकर्णनीय है। यदि विकर्णनीय है, तो आव्यूह [0 और विकर्ण आव्यूह 79 निकालिए जिसके लिए

(ख) मान लीजिए कि 1:0-+८ 1((2,०29,23)) 5 -izy +iz, द्वारा परिभाषित एक रेखिक फलनक है। (»,39५,33) 5(* ज्ञात कीजिए जिसके लिए : 3

(ग) शांकव &* + » +6:2/ -1 पर निर्देशांक रूपांतरण लागू कीजिए। इस शांकव की प्रकृति क्या है ?

Q5.(क) पंक्ति समानयन का उपयोग करते हुए समुच्चय 8-10,-1,1),(-1,1,2),0,2,4)) ढ्वारा विस्तृत सदिश समष्टि के लिए एक आधार 8 निकालिए जिसके लिए 8581 4 तुल्यकारिता है। 3

(ग) मान लीजिए कि T=R? >R®

Q6.390) 5 (४-3,%,3) द्वारा परिभाषित है और द्वारा परिभाषित है। मान लीजिए 8; और 8५ क्रमशः, 18 और 1३” के मानक आधार हैं। जाँच कीजिए कि :

Q7.(क) द्विघात ra x7 — 2 +27 + Quy + Qxz —DQyz का लांबिक विहित समानयन ज्ञात कीजिए। मुख्य अक्ष भी ज्ञात कीजिए । 9

(ख) बिन्दुओं (1, 1, 1), (1, 1, 0) और (2, 2, 1) से निर्धारित समतल का सदिश समीकरण निकालिए। यह भी जाँच कीजिए कि (2, 1, 1) उस समतल पर स्थित है। 3

(ग) एक समुच्चय का सहसमुच्चय परिभाषित कीजिए। मान लीजिए : जाँच कीजिए कि सदिश (3, 1, 2) और (1, 1, 3) एए के एक ही सहसमुच्चय में हैं या नहीं। 3 आधार है, जहाँ ८1 5 (1, 1, 1), ४७ 5 (1, 0,-1) और ४४ 5 (1,1,0)। 8 पर ग्राम-श्मिट लांबिकौकरण विधि का प्रयोग करके 1४“ का प्रसामान्य लांबिक आधार प्राप्त कीजिए। 5

(ख) मान लीजिए 8-६601,0,1),(0,1,-2), (-1,-1,0)) छ! का एक आधार है। 8 का द्वैत आधार निकालिए। 5

(4) जाँच कीजिए कि समुच्चय : 1४” का उपसमुच्चय है या नहीं। 3

(घ) यदि ०,०५ एवं ०; ९ पर एक सदिश समष्टि 9 में रैखिकतः स्वतन्त्र सदिश हैं, तो दिखाइये कि ए[ +०५,०७+०४,०३+ण० भी रैखिकत: स्वतन्त्र हैं।

Q8.निम्नलिखित कथनों में से कौन-से कथन सत्य हैं और कौन-से असत्य ? अपने उत्तर की पुष्टि एक लघु उपपत्ति या प्रति-उदाहरण द्वारा कीजिए : 10

(क) एक सममित आव्यूह के आइगेन मान वास्तविक हैं।

(ख) यदि 8; ८ 5, एक सदिश समष्टि ए के उपसमुच्चय हैं और 8५ रैखिकत: स्वतन्त्र है, तो 81 भी रैखिकतः स्वतन्त्र है।

(1) we Ht fee woe T:Rt>R° के लिए

(घ) कोई भी ऐकिक आव्यूह हर्मिटीय है। (ड) एक ऐसा रैखिक रूपांतरण ": 1४ -> 1१ है जिसका अभिलाक्षणिक बहुपद (£-9)(6-5)(४-1) है और न्यूनतम बहुपद (६४-3)(४-5) है।