BMTC-133 · December 2025 · हिन्दी
IGNOU BMTC-133 December 2025 Previous Year Question Paper (हिन्दी)
REAL ANALYSIS
Structured previous year question paper for BMTC-133, December 2025 session (Hindi medium).
Max marks: 100 · Questions: 8
Verified: 22 Aug 2026
विज्ञान स्नातक (सामान्य) /कला स्नातक (सामान्य)
सत्रांत परीक्षा
दिसम्बर, 2025
बी.एम.टी.सी.-133 : वास्तविक विश्लेषण
समय :3 घण्टे अधिकतम अंक : 100
We:
(i) प्रश्न सं. 1 अनिवार्य है।
(४४) प्रश्न सं. 2 से 8 तक किन्हीं छः: प्रश्नों के उत्तर
दीजिए।
Q1.अग्रलिखित कथनों में से कौन-से कथन सत्य हैं और कौन-से असत्य ? लघु उपपत्ति या प्रति-उदाहरण, जो भी उचित हो, के साथ अपने उत्तरों के कारण बताइए ; 5x2=10 (अ) प्रत्येक निरन्तर वर्धमान फलन व्युत्क्रमणीय होता है।
(ख) / 5८ |४+ 1| + |& - 3|; « ८ (९ द्वारा देय 'फलन / बिन्दु & 5 - 2 पर अवकलनीय है।
(ग) श्रेणी 1 + ; + ; + : + « अपसारी है।
(घ) /(0 5 [&] द्वारा परिभाषित फलन /: ९ -> ९, अंतराल [1, 5] में समाकलनीय नहीं है।
(छ) समीकरण «7 -- 12%: + 6 5 0 अंतराल [-2, 2] में एक मूल है।
Q2.(क) आगमन के सिद्धान्त का उपयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि : सभी 6< 1 और # ८ के लिए सत्य है। 5
(ख) 6) सिद्ध कीजिए कि अनुक्रम
(22) अभिसारी है। 3
(8) यदि अनुक्रम (०७७) और (७७) अपसारी हों, तो SPA (an + bn) ATA होगा। अपने उत्तर की पुष्टि कौजिए। 2 / के लिए बिन्दु & 5८ - 38 पर सांतत्य और अवकलनीयता की जाँच कीजिए।
Q3.(क) लैग्रांज की माध्यमान प्रमेय का कथन दीजिए दर्शाइए कि फलन /(0 5 «४ - 30% - 12 के लिए एक ० ८]2, 3 [ का अस्तित्व है ताकि / (०) 5 - 15 है। ऐसे एक बिन्दु ८ के लिए एक मान ज्ञात कीजिए।5 का मान निकालने के लिए, कौशी समाकल परीक्षण का उपयोग कीजिए। 5
(ग) & के सभी धनात्मक मानों के लिए, श्रेणी : 5 की अभिसारिता की जाँच कीजिए
Q4.(क) सिद्ध या असिद्ध कीजिए कि _/10 एक परिमेय संख्या है। 4
(ख) दर्शाइए कि अनुक्रम (७,)» ८ ए+ जहाँ : 5 अभिसारी है।
(ग) मान लीजिए कि /(७) 5 2% - 1, & ८ [0,1] है। मान लीजिए कि 1% उप-अन्तरालों : (०१ 5- 2 द्वारा निर्मित टैग किये गये विभाजन हैं, जहाँ चिन्ह (टैग) & aL (6 5 1, 2, ॥) है। रीमान योग परिकलित कीजिए। क्या / रीमान समाकलनीय है ? अपने उत्तर की कारण द्वारा पुष्टि कीजिए।
Q5.(क) समुच्चय Pgh -Zinent| के सभी सीमा बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए। 5
(ख) अभिसारिता के लिए निम्नलिखित श्रेणियों की जाँच कीजिए : 5 हि S 2" 42
(ग) घात श्रेणी ye yn की अभिसरण-त्रिज्या और उसका अभिसरण-अंतराल ज्ञात कीजिए।
Q6.(क) ए के एक दिए हुए अरिक्त उपसमुच्चय 8 के लिए, मान लीजिए कि ४8 5 [ ४४ : ७ ८ 5) है। दर्शाइए 809
(28) 5 2 5५9 5 है, और
(ख) वीयरस्ट्रॉस के |४-टेस्ट के उपयोग से, दर्शाइए कि श्रेणी : 5 अंतराल [0, 4] में एकसमानत: अभिसरित होती है। द्वारा परिभाषित फलन / के लिए अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात कौजिए।
Q7.(क) निम्नलिखित कथन के प्रतिधनात्मक को लिखिए तथा उसे सिद्ध कीजिए : 5 “यदि / एक परिमित समुच्चय > से % तक परिभाषित एक 1 - 1 फलन है, तो / को अवश्य ही आच्छादक होना चाहिए।”
(ख) 10४ (1 + 2), » € [0, 1] के लिए मैक्लॉरिन श्रेणी ज्ञात कीजिए। 5
(ग) फलन : 5 atx = 0 R aa & fae जाँच कीजिए। यदि यह सांतत्य नहीं है, तो असंतता की प्रकृति का नाम बताइए।
Q8.(क) कौशी की माध्यमान प्रमेय का कथन दीजिए तथा में परिभाषित फलनों / और & के लिए, इस प्रमेय का सत्यापन कीजिए। 5
(ख) मान लीजिए कि &:[0,1] -> 8 इस प्रकार है g
(0) 5८ 0 और g(x) = sin( 5 के रूप में परिभाषित & एक फलन है। दर्शाइए कि ४' का अस्तित्व है, परन्तु यह रीमान समाकलनीय नहीं है। 5 तो फलनों के अनुक्रम (#,) ८ए की बिन्दुश: सीमा ज्ञात कीजिए। क्या यह अनुक्रम एकसमानतः अभिसारी है ? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए ।